Exemplos de calcúlos egípcios

Usando a formula de pitágoras

Exemplo 1: Sendo a,b e c as medidas dos comprimentos dos lados de um triângulo, indica, justificando, aqueles que são rectângulos: a) a = 6; b = 7 e c = 13; b) a = 6; b = 10 e c = 8. Resolução: "Se num triângulo as medidas dos seus lados verificarem o Teorema de Pitágoras então pode-se concluir que o triângulo é rectângulo". Então teremos que verificar para cada alínea se as medidas dos lados dos triângulos satisfazem ou não o Teorema de Pitágoras. a)            logo o triângulo não é rectângulo porque não satisfaz o Teorema de Pitágoras. b)            logo o triângulo é rectângulo porque satisfaz o Teorema de Pitágoras. Exemplo 2: Calcula o valor de x em cada um dos triângulos rectângulos: a)            b)                      Resolução: a) Aplicando o Teorema de Pitágoras temos:            b) Aplicando o Teorema de Pitágoras temos:              Exemplo 3: Calcula as áreas das seguintes figuras. a)            b)                     Resolução: a) b)                                 Exemplo 4: a) Qual era a altura do poste? Resolução:                       h = 4 + 5 = 9 Resposta: A altura do poste era de 9 m. b) Qual é a distância percorrida pelo berlinde.     Resolução:                          Resposta: A distância percorrida pelo berlinde é de:                             265 cm = 2,65 m.

Exercício 5: O Pedro e o João estão a «andar» de balancé, como indica a figura:   A altura máxima a que pode subir cada um dos amigos é de 60 cm. Qual o comprimento do balancé? Resolução do exercício 5: Pode-se aplicar o Teorema de Pitágoras, pois a linha a tracejado forma um ângulo de 90 graus com a "linha" do chão. Então vem: 1,8 m = 180 cm   Resposta: O comprimento do balancé é de aproximadamente 190 cm, isto é, 1,9 m. Exercício 6: A figura representa um barco à vela. 6.1.) Determina, de acordo com os dados da figura, os valores de x e y. Resolução do exercício 6: 6.1.) Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:

Exercícios sobre determinantes

    

      a) 64       b) 8       c) 0        d) 4        e) -64             RESPOSTA: D

                  

       a) 2 ou -2      b) 1 ou 3      c) -3 ou 5      d) -5 ou 3       e) 4 ou -4     RESPOSTA: A

                               

       a) não se define;     

       b) é uma matriz de determinante nulo;

       c) é a matriz identidade de ordem 3;

       d) é uma matriz de uma linha e uma coluna;

       e) não é matriz quadrada.                                     RESPOSTA: B

 

       a) duas linhas proporcionais;

       b) duas colunas proporcionais;

       c) elementos negativos;

       d) uma fila combinação linear das outras duas filas paralelas;     

       e) duas filas paralelas iguais.                                     RESPOSTA: D

       a) -9        b) -6       c) 3       d) 6        e) 9      RESPOSTA: E

      é igual a:

      a) 7         b) 8        c) 9       d) 10      e) 11     RESPOSTA: C

Números egípcios

Tabuleiro Xadrez

Monumentos Egipcios

cálculo do imc

Sistema de numeração egipcia

Cálculo de Massa Corporal

Matemática matrizes

Cálculo do índice de massa corporal (IMC)

     Você já deve ter ouvido falar do IMC, o índice de massa corporal. É uma medida que aponta o grau de obesidade de uma pessoa. Conhecendo o IMC, pode-se afirmar se ela está acima ou abaixo do peso ideal. É um índice que leva em consideração a altura e o peso (massa) do indivíduo. Sabemos que a obesidade já é considerada uma epidemia mundial pela Organização Mundial de Saúde, dessa forma, é importante saber como está o seu grau de obesidade. Mas o IMC também revela se a pessoa está abaixo do peso ideal, outro problema enfrentado pelas pessoas que buscam a qualquer preço ter um corpo magro, principalmente modelos, gerando um quadro de anorexia.

      Bem, como foi dito, o IMC é calculado considerando dois parâmetros: peso (massa) e altura da pessoa. Mas você sabe como ele é calculado? Há um modelo matemático (fórmula) que fornece o IMC quando se conhece o peso (em quilogramas) e a altura (em metros) de um indivíduo. Veja:

IMC = (peso) ÷ (altura)²

     Observe que o IMC é obtido fazendo o quociente (divisão) entre o peso da pessoa e o quadrado da altura.

     Assim, uma pessoa de 1,60 m de altura, com 51 kg de peso, terá um IMC de:

IMC = 51 ÷ (1,60)² = 51 ÷ 2,56 = 19,5

      A Associação Brasileira para o Estudo da Obesidade estabeleceu uma tabela que aponta o grau de obesidade de acordo com o IMC.

Abaixo de 18,5 à Você está abaixo do peso ideal
Entre 18,5 e 24,9 à Você está em seu peso normal
Entre 25 e 29,9 à Você está acima de seu peso (sobrepeso)
Entre 30 e 34,9 à Obesidade grau I
Entre 35 e 39,9 à Obesidade grau II
40 e acima à Obesidade grau III

     Se considerarmos o exemplo calculado anteriormente, como o IMC = 19,5, podemos afirmar que a pessoa está com o peso saudável.

Matriz

Curiosidades em torno do nome matriz

O pai do nome matriz

    Foi só há pouco mais de 150 anos que as matrizes tiveram sua importância detectada e sairam da sombra dos determinantes. O primeiro a lhes dar um nome parece ter sido Cauchy, 1826 : tableau ( = tabela ).
O nome matriz só veio com James Joseph Sylvester, 1850. Seu amigo Cayley, com sua famosa Memoir on the Theory of Matrices, 1858, divulgou esse nome e iniciou a demonstrar sua utilidade.

Por que Sylvester deu o nome matriz às matrizes ?

    Usou o significado coloquial da palavra matriz, qual seja: local onde algo se gera ou cria. Com efeito, via-as como "...um bloco retangular de termos... o que não representa um determinante, mas é como se fosse uma MATRIZ a partir da qual podemos formar varios sistemas de determinantes, ao fixar um número p e escolhar à vontade p linhas e p colunas..." ( artigo publicado na Philosophical Magazine de 1850, pag 363-370 ).

    Observe que Sylvester ainda via as matrizes como mero ingrediente dos determinantes. É só com Cayley que elas passam a ter vida própria e gradativamente começam a suplantar os determinantes em importância. 

Surgimento dos primeiros resultados da Teoria das Matrizes

    Costuma-se dizer que um primeiro curso de Teoria das Matrizes - ou de sua versão mais abstrata, a Algebra Linear - deve ir no mínimo até o Teorema Espectral. Pois bem, esse teorema e toda uma série de resultados auxiliares já eram conhecidos antes de Cayley iniciar a estudar as matrizes como uma classe notável de objetos matemáticos.

    Como se explica isso? Esses resultados, bem como a maioria dos resultados básicos da Teoria da Matrizes, foram descobertos quando os matemáticos dos séculos XVIII e XIX passaram a investigar a Teoria das Formas Quadráticas. Hoje, consideramos imprescindível estudar essas formas através da notacão e metodologia matricial, mas naquela época elas eram tratadas escalarmente.
Mostremos aqui a representação de uma forma quadrática de duas variáveis, tanto via notação escalar como com a mais moderna notação matricial:

q( x , y ) = a x 2 + 2b x y + c y 2	=	x	y	.	a	b	.	x
					b	c		y

    O primeiro uso implícito da noção de matriz ocorreu quando Lagrange c. 1790 reduziu a caracterização dos máximos e mínimos, de uma função real de várias variáveis, ao estudo do sinal da forma quadrática associada à matriz das segundas derivadas dessa função. Sempre trabalhando escalarmente, ele chegou à uma conclusão que hoje expressamos em termos de matriz positiva definida. Após Lagrange, já no século XIX, a Teoria das Formas Quadráticas chegou a ser um dos assuntos mais importantes em termos de pesquisas, principalmente no que toca ao estudo de seus invariantes. Essas investigações tiveram como subproduto a descoberta de uma grande quantidade de resultados e conceitos básicos de matrizes.

    Assim que podemos dizer que a Teoria das Matrizes teve como mãe a Teoria das Formas Quadráticas, pois que seus métodos e resultados básicos foram lá gerados. Hoje, contudo, o estudo das formas quadráticas é um mero capítulo da Teoria das Matrizes.
Observemos, ademais, que os determinantes em nada contribuiram para o desenvolvimento da Teoria das Matrizes.

Curiosidades Sobre o Egito Antigo

          As pirâmides egípcias foram construídas há mais de 3000 anos. A maior, localizada em Gizé, tem 2,3 milhões de blocos de pedra, alguns pesando nove toneladas, mas ninguém sabe como foram sobrepostos. A suposição mais divulgada aponta para milhares de pessoas a empurrarem os enormes blocos de pedra por rampas durante vários anos. Haja força ou será que foi pura matemática? 

          Agora, uma nova teoria afirma que a elevação das pedras - bem como dos obeliscos - foi conseguida recorrendo a papagaios de papel, então feitos com linho. As experiências para o demonstrar foram lideradas pela consultora californiana Maureen Clemmons.

         Foi em Junho de 1997 que Clemmons começou a usá-los no terreno para testar a sua teoria, quando tentou levantar, sem sucesso, um obelisco de 180 quilos diretamente ligado a um papagaio. No final desse ano, usando um "parafoil" (papagaio preso a viatura), conseguiu elevar um tronco de sequóia com 2,5 metros de comprimento. No ano seguinte, o obelisco inicial foi levantado na horizontal com uma asa delta e um "parafoil", depois de os papagaios ficarem destruídos na experiência.

         Em Maio deste ano, concluíram com sucesso um teste e, um mês depois, chamaram a   comunicação social para testemunhar a repetição da proeza. Dois homens, seis polias e um papagaio, ajudados por ventos de 25 a 30 quilômetros por hora, levantaram um obelisco com 3,4 toneladas de peso em 25 segundos. Como explica Clemmons, "o papagaio providenciava toda a tração e elevação para erguer o monumento, enquanto as polias davam vantagens mecânicas e os homens pilotavam o papagaio". Gomes da Cruz não tem dúvidas de ser possível usar papagaios para estas tarefas.

      Por que não existem relatos ou imagens dessas obras de engenharia com pessoas a manobrar os papagaios?

         Responde Clemmons. "Penso existirem imagens de egípcios a fazer voar papagaios mas não as soubemos interpretar", ou "Acho que as asas que vemos no topo dos antigos monumentos egípcios são, na realidade, representações de papagaios".

                           

OUTRA  TEORIA

         Os obeliscos eram colocados num buraco cheio de areia. Em seguida, através de um “tampo”, esvaia-se lentamente a areia branca para firmar o monumento.

 

Os egípcios na:

   Astronomia - Foi a mais importante das ciências desenvolvidas pelos egípcios. Impulsionados pela necessidade de medir o tempo do início e do fim das cheias do Nilo, para isso eles fizeram um calendário, que dividia o ano em 365 dias e três estações: cheia, inverno e verão. Inventaram o relógio de sol, os obeliscos, e o de água. Traçaram mapas celestes, situaram os pontos cardeais e quem sabe muito mais.

     Matemática - Lançaram os fundamentos da Aritmética e da Geometria. Inventaram a soma, a subtração e a divisão sem nem um tipo de símbolo para representar o zero, constituíram o sistema decimal. Não sabiam multiplicar. Determinaram triângulos e retângulos.

    A matemática era usada principalmente na construção dos templos, pirâmides e outras grandes obras, como os diques e as barragens, que impediam as cheias do Nilo. Foram as mesmas cheias desse rio que levaram os egípcios a desenvolverem a geometria, que servia para dividir as terras, pois quando as águas baixavam e as divisões das propriedades sumiam era necessário reconhecê-las novamente. Eles sabiam medir áreas de triângulos, retângulos e hexágonos, e o volume de cilindros e pirâmides. Como se vê, todas as forças da natureza sempre estiveram muito presentes na vida dos egípcios, e isto mostra porque eles as idolatravam tanto, dando muito poder para quem as propagavam como divinas (sacerdotes e faraós), e criaram uma cultura em torno de si mesmas, fazendo com que um povo inteiro vivesse para elas e em torno delas.

    A medicina era muito desenvolvida, embora os conhecimentos médicos ficassem nas mãos de poucas pessoas. Os egípcios praticavam operações, incluindo a perfuração do crânio a fim de diminuir a pressão no cérebro, conheciam uma grande variedade de doenças e, além disso, conheciam a importância do coração.

       A escrita egípcia, inicialmente denominada hieroglífica, era composta de pequenas figuras que representavam as coisas. Essa era a escrita sagrada, que se encontrava nos túmulos e templos. Posteriormente ela foi simplificada, dando origem a escrita hierática, que era usada pelos sacerdotes nos textos sagrados. E ainda surgiu uma terceira escrita, muito mais simples, usada pelos escribas e pela população em geral. Os hieróglifos foram decifrados por um francês chamado Champollion. Entender sinais tão complicados só não era mais difícil do que descobrir o mistério das pirâmides.                  

      Por isso, Champollion teve que contar com uma pequena ajuda. Em 1779, os exércitos de Napoleão trouxeram do Egito a pedra da Roseta:  um pedaço de basalto negro onde estava gravado um texto em grego, em hieróglifos e em demótico. Está última forma era uma escrita egípcia mais simplificada, empregada nos papiros administrativos e literários. Na versão grega, o texto era um decreto baixado por Ptolomeu V em 196 a.C. Os dois outros poderiam ser traduções. Por ordem de Napoleão Bonaparte a estela foi reproduzida e litografada e várias cópias enviadas a diversos especialistas em línguas mortas.Em 1807, Jean-François Champollion aceitou o desafio de decifrar. A partir dos nomes próprios do texto grego, ele comparou os outros dois textos até descobrir certas semelhanças. Foram necessários quatorze anos para o professor dispor de algumas chaves para entender o enigma: No total, foram.vinte e três anos desde a data de sua descoberta até  Champollion pudesse decifrar integralmente o seu conteúdo. Enfim, a pedra da Roseta e as inscrições de outros monumentos egípcios revelaram grandes segredos.

A escrita é considerada como o maior tesouro deixados pelos egípcios, pois..

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 Bastam olhos que saibam ler para ressuscitar todo o   conhecimento.